Aos estudiosos da cristalografia

Depois da alguns anos de ensino e pesquisa na disciplina de Mineralogia, cheguei à conclusão que a Cristalografia se tornou uma ciência pesada, devido a sua nomenclatura excessivamente extensa e pouco significativa. São necessárias, portanto, algumas simplificações. Esse espaço servirá para a publicação das minhas sugestões. Espero, com isso, contribuir para futuros estudos na área.



sexta-feira, 14 de janeiro de 2011

CLASSES MEROÉDRICAS E SUAS FORMAS CORRELATAS

1. Meroedrias e ação dos eixos principais
            A classe de simetria com todos os elementos de simetria laterais, e, por consequência, a totalidade de faces, na forma geral, é chamada classe holoédrica.
            Com a ausência de elementos de simetria o número de faces será reduzido na forma geral e a classe será meroédrica. 
            Com a presença de apenas um dos elementos laterais, o número de faces na forma geral será reduzido à metade e a classe será chamada classe hemiédrica.
De acordo com o elemento de simetria presente a hemiedria pode ser:
  • Com o centro de simetria do pinacoide, a hemiedria será paramórfica (pinacoidal).
  • Com plano do doma será hemimórfica (domática).
  • Com o eixo do esfenoide será enantiomórfica (esfenoidal).
            Nos três casos, acima, a tentativa de acrescentar um dos dois elementos ausentes, cobriria, também a simetria do terceiro, alcançando a classe holoédrica.
            Com a ausência dos três elementos não haverá mais multiplicação lateral, ficando a multiplicação reduzida à ação dos eixos principais limitando o número de faces à quarta parte e a classe, assim formada, será tetartoédrica.
No caso das hemiedrias, o único elemento lateral duplica a face inicial antes de colocá-la à disposição dos eixos principais para a multiplicação correspondente.
Os três elementos, juntos, cada um duplicará o polo inicial, resultando um conjunto de quatro polos. Os três elementos, agindo sobre esses quatro polos, nada mais conseguirão acrescentar. Resultando sempre a superposição dos mesmos polos (conferir no Quadro 3). Esses quatro polos formam a forma geradora chamada prisma que levada ao eixo principal, formará a classe holoédrica (prismática).
            Cabe aos eixos principais de cada sistema a multiplicação dos polos das formas geradoras. Essa multiplicação varia de sistema para sistema:
  • O conjunto dos quatro eixos ternários do sistema cúbico multiplicará por doze.
  • Os eixos principais, singulares, multiplicarão por um número igual à ordem dos mesmos. Essa ordem é:
  • Seis para o sistema hexagonal.
  •  Quatro para o sistema tetragonal.
  • Três para o sistema trigonal. 
  • Dois para o sistema rômbico.
  • E, um para o sistema monoclínico.

2.     Formas correlatas
Na classe tetartoédrica, o polo inicial, não multiplicado, deixa três lugares vagos. Colocando um polo inicial num desses lugares vagos, chegamos a outra forma com o mesmo número de faces, a mesma simetria e o mesmo nome. Será uma forma correlata da primeira. Assim, na classe tetartoédrica, a cada forma, correspondem três formas correlatas. Nas classes hemiédricas, o único elemento lateral multiplica o polo ocupando duas vagas. Sobrando duas vagas para uma única forma correlata, reduzindo o número de formas correlatas a dois.
            Formas correlatas são formas dos cristais com o mesmo número de faces, com os mesmos elementos de simetria e fazendo jus ao mesmo nome e que diferem, unicamente, na posição das faces. Formas correlatas existem, somente, nas classes meroédricas.

3.     Inter-relacionamento das formas correlatas
            Cada uma das quatro formas correlatas da classe pedial (tetartoédrica) se relaciona com as três outras em função de um dos elementos de simetria das formas geradoras. Com uma se relaciona em função do centro de simetria do pinacoide. Com a segunda se relaciona em função do plano do doma e com a outra se relaciona em função do eixo do esfenoide.
            No quadro abaixo, temos as formas correlatas em forma de placas com os elementos de simetria que as interrelacionam:
[1] 
Quadro 1
Elemento de relacionamento das placas I e III
Válido para a classe pedial de todos os sistemas

Placa 1
Placa 2
Placa 3
Placa 4
Placa 1

Eixo binário
Centro de simetria

Plano lateral

Placa 2

Eixo binário


Plano lateral
Centro de simetria
Placa 3
Centro de simetria
Plano lateral

Eixo binário
Placa 4
Plano lateral
Centro de simetria
Eixo binário


No quadro abaixo, estão as quatro formas correlatas da esquerda, formando três duplas à direita, gerando os elementos de simetria das formas geradoras e, consequentemente, as classes hemiédricas
(Aqui as formas correlatas estão na disposição e numeração das placas e não do prisma.)
Quadro 2
Formas correlatas (Placas)
Duas duplas verticais (1 e 2) e (3 e 4) >>Eixo
Um (1)
Três (3)
Duas duplas horizontais (1 e 3) e (2 e 4) >> Centro
Dois (2)
Quatro (4)
Duas duplas diagonais (1 e 4) e (2 e 3) >>Plano

          4.  Duplas afins e duplas paralelas
Na disposição, aqui usada,[2] as duplas horizontais têm afinidade em relação do centro de simetria. As duplas verticais têm afinidade em relação do eixo binário. E, as duplas diagonais têm afinidade em relação do plano lateral. Partindo de qualquer uma das formas correlatas teremos outra forma correlata que forma uma dupla afim em relação a um determinado elemento e a outra dupla, que podemos chamar de dupla paralela, terá afinidade em relação ao mesmo elemento.  Assim, em relação a cada elemento, sempre teremos uma dupla afim e a dupla paralela com afinidade em relação ao mesmo elemento.
No quadro dois (esquerda), cada forma correlata terá afinidade com outra em relação a cada um dos três elementos de simetria. O referido elemento será introduzido com a soma da dupla como segue:
·        A soma horizontal (1 + 3) e (2 + 4) introduzirá o centro de simetria.[3]
·        A soma vertical (1 + 2) e (3 e 4) introduzirá o eixo lateral binário.
  • A soma nas diagonais (1 + 4) e (2 e 3) introduzirá o plano lateral.
           As classes hemiédricas têm apenas duas formas correlatas que se relacionam em função dos dois elementos ausentes. Somando as formas correlatas, de qualquer hemiedria, introduzimos os dois elementos laterais, ausentes, e chegamos à classe prismática (holoédrica) com os três elementos de simetria. Não existe a possibilidade de introduzir um segundo, dos três elementos, sem que o terceiro apareça.  Por isso, podemos dizer que a soma de duas formas correlatas das classes hemiédricas introduz os dois elementos que estavam faltando

5.     Elementos de simetria das formas geradoras.
Os três elementos de simetria das formas geradoras quando reunidas, terão uma posição relativa invariável. Eixo e plano perpendiculares e o centro no encontro dos dois. (Ver Esquema dos Polos abaixo). Nessa posição o funcionamento deles, também se interrelacionam. Sempre o resultado da função de um deles pode ser obtido pela função sucessiva dos dois outros. Partindo de um mesmo polo inicial (1) e agindo com o eixo o polo será transportado num giro de 180 graus em torno do eixo formando o polo (2). Partindo do mesmo polo inicial fazendo a reflexão no plano teremos o polo (3) e, na sequência invertendo através do centro, alcançaremos o polo (4). O mesmo polo (4) poderá ser obtido pela reflexão do polo (2) no plano ou pelo giro, em torno do eixo, do polo (3). Sempre que um segundo elemento agir sobre o resultado do primeiro, o resultado será igual ao resultado da ação direto do terceiro.
Qualquer tentativa de multiplicar esses quatro polos por qualquer um dos três elementos de simetria, somente conseguirá a superposição dos quatro polos já existentes. (Conferir no Esquema dos Polos acima). É a explicação da afirmação de que dois elementos estando presentes, o terceiro também está. Isto é:  (E’ + P’ = C;   E’ + C = P’ e P’ + C = E’) sendo E’ o eixo, P’ o plano e C o centro, os elementos de simetria das formas geradoras. Outra afirmação: A presença de dois dos três elementos implica na existência do terceiro. 

6. Disposição das formas correlatas
O meu primeiro trabalho do relacionamento das formas correlatas foi feito no estudo visando a organização das Placas I para o estudo do sistema cúbico. Na formação das placas correspondentes às formas correlatas, as duplas responsáveis pela introdução do centro de simetria caíram na horizontal. A posição do plano principal, gerado pelo centro de simetria também é horizontal. Ficando as placas responsáveis pela formação dos planos diagonais, na diagonal. Posição essa mantida, também nas placas III.
             Mas, com o estudo das placas II, na formação da placa do prisma, tornou-se evidente que a disposição dos elementos de simetria (plano perpendicular ao eixo) muda a disposição das formas correlatas sem, contudo, invalidar a posição usada nas placas que correspondem à face do cubo.
             Constatou-se também que os polos do prisma correspondem aos polos iniciais das quatro formas correlatas tetartoédricas. E, acompanhados dos elementos de simetria que os inter-relacionam geram os polos iniciais das classes hemiédricas. Assim o polo um pelo eixo binário gera o polo dois (esfenoide), pelo plano, gera o polo três (doma) e pelo centro gera o polo quatro (pinacoide) sempre evidenciando o inter-relacionamento entre eles. Tornou-se evidente, também, que a segunda dupla (dupla paralela) de formas correlatas se inter-relaciona em função do mesmo elemento.
            Repetindo a posição dos elementos de simetria e dos polos no prisma:
            Linha horizontal é o eixo binário, a linha dupla vertical é o plano ficando o centro no encontro dos dois.

Esquema dos polos das faces do prisma como origem das formas correlatas
                                      Posição das duplas nos polos do prisma

 
  4 O



 O 2

  3 +



 + 1
           No esquema superior, a posição das formas geradoras no prisma. E no abaixo, o mesmo esquema com giro de 180 graus.

 
  1 +



 + 3

  2 O



 O 4
      Na posição do prisma verifica-se:
  • O polo inicial (1) é a primeira forma correlata.
  •  A reprodução pelo eixo binário, polo (2) é a segunda forma correlata.
  • A reprodução pelo plano, polo (3) é a terceira forma correlata.
  • E, finalmente, a reprodução pelo centro de simetria polo (4) quarta forma correlata. 
Tanto a disposição do prisma como a disposição das placas são a mesma. A única diferença consiste na troca das formas correlatas dos polos três e quatro. A forma geradora que uma tem no polo três a outra tem no polo quatro, ambas são posições normais. As placas foram moldadas sobre a face do cubo e o prisma, no sistema cúbico, sempre terá o eixo binário e o plano perpendicular nas diagonais do cubo.
·        O plano, passando por dois eixos ternários na diagonal do cubo, passa também pelas bissetrizes dos eixos quaternários direção que corresponde ao eixo binário lateral.
·        O eixo, sendo perpendicular, será perpendicular aos mesmos eixos e estará na outra diagonal.
      Tanto o plano como o eixo estão orientado dobre as diagonais e não sobre as faces do cubo, como as placas I. 
Observações:
·        A posição nas placas é a posição natural em que elas foram geradas pelas placas iniciais.
·        A posição no prisma também é resultado da posição e atuação dos elementos de simetria. No sistema cúbico estará nas diagonais.
     Observação: a posição das placas é a posição natural em que elas foram formadas, a partir das placas iniciais.
7. Formas correlatas a partir do prisma
     Com a troca de lugar das formas correlatas três e quatro do quadro dois alteramos as duplas horizontais e diagonais no quadro quatro, entrando na disposição do prisma. Os astericos abaixo indicam a lugar da troca das formas correlatas.

Quadro 3 - Formas correlatas, gerando os elementos de simetria das classes hemiédricas[4]
Formas correlatas (Prisma)
Duas duplas verticais (1 e 2) e (3 e 4) >>Eixo
Um (1)
Três (3) *
Duas duplas horizontais (1 e 3) e (2 e 4) >>Plano
Dois (2)
Quatro (4) *
Duas duplas diagonais (1 e 4) e (2 e 3) >>Centro
        Essa posição é obtida com a troca de posição das formas correlatas dos polos três e quatro do quadro dois. As formas correlatas trocaram e os números ficaram os mesmos.
         Isolando os polos, no Esquema dos Polos ou Quadro três, e partindo do polo 1: Sem elemento de simetria o polo um sem multiplicação prévia será levado ao eixo principal para ser multiplicado e assim completar uma forma correlata da classe pedial. Os outros três polos, um de cada vez, completarão as três outras formas correlatas da classe pedial.
O centro de simetria levará ao polo 4 e juntos 1 e 4 geram uma forma correlata da classe pinacoidal. A outra dupla (dupla paralela 2 e 3) originará a segunda forma correlata da mesma classe.
·  Com o plano surgirá o polo 3, juntos 1 e 3 levam a uma forma correlata da classe domática cabendo à outra dupla (dupla paralela) 2 e 4 a formação da segunda forma correlata.
·   O eixo, com os polos 1 e 2, leva a uma forma correlata da classe esfenoidal cabendo à dupla paralela (3 e 4) a outra forma correlata.
·   Finalmente, os três elementos, ocupando os quatro polos, formarão a classe holoédrica, sem forma correlata.                               
Com essa disposição temos: Duplas verticais gerando o eixo lateral E’.  Duplas horizontais gerando os planos laterais P’. Duplas diagonais gerando o centro de simetria C.
            O resultado das duplas não depende da posição que elas ocupam, mas da natureza dos elementos que as inter-relaciona.
            Voltando ao Quadro três que representa o prisma com seus elementos de simetria temos:
·   O traço horizontal é o eixo lateral
·   A linha dupla, vertical é o plano lateral, sempre perpendicular ao eixo.
·   O centro de simetria fica no ponto de cruzamento do eixo com o plano. 
            O polo 1 + pelo eixo, forma o polo 2 O executando um giro de 180 graus em torno do eixo, pela reflexão no plano, forma o polo 3 + e, pela inversão, através do centro, forma o polo quatro O. O polo 4 O pode ser obtido, também, a partir do polo 2, pela reflexão no plano ou do polo 3, pelo giro, em torno do eixo. O que prova que, trabalhando com dois dos três elementos, o trabalho do terceiro já está completo não mais podendo ficar fora.  Esses quatro polos são, exatamente, os polos iniciais das quatro formas correlatas. Levadas ao eixo principal um a um formarão as quatro formas correlatas da classe pedial. A dupla um e dois e a dupla três e quatro introduzindo o eixo lateral levam às duas formas correlatas da classe esfenoidal. A dupla um e três e a dupla dois e quatro introduzindo o plano levam às formas correlatas da classe domática. E a dupla um e quatro e a dupla dois e três, introduzindo o centro de simetria levam às formas correlatas da classe pinacoidal. Finalmente, a soma das duas formas correlatas de qualquer hemiedria somará todas as duplas levando os quatro polos com os três elementos de simetria isto é o prisma completo, formamos a classe prismática (holoédrica).
Repetindo: Nesta posição, as formas correlatas da classe esfenoidal são formadas pelas duplas verticais. As formas correlatas das classes domáticas são formadas pelas duplas horizontais. Ficando o centro de simetria, classe pinacoidal, sendo formado pelas duplas diagonais. Não existe ordem obrigatória para a numeração das formas correlatas nas Placas I. Nos primeiros quadros desse trabalho a ordem é a ordem de formação das formas correlatas. Essa ordem lembra a posição dos planos laterais no cubo que é diagonal.

8. Maclas e formas correlatas
A título de ilustração, daremos, aqui, alguns exemplos de maclas em que os elementos geminados são formas correlatas.
Macla da pirita com dois dodecaedros pentagonais (direito e esquerdo) cruzados é a Cruz de ferro a maior condecoração militar da Alemanha. Os vértices de um dodecaedro saem no meio das faces do outro formando uma cruz.
Macla da calcita que pode ocorrer tanto escalenoedro como no romboedro, um direito e outro esquerdo, maclados.
Maclas do quartzo:
·   Macla do Brasil um trapezoedro direito e um esquerdo.
·   Macla do Delfinado Dois trapezoedros direitos ou dois trapezoedros esquerdos

Anexo
Placas para o estudo das classes de simetria
As placas aqui referidas formam um conjunto de placas de acrílico que representam a disposição de uma propriedade hipotética numa das faces do cubo. Considerando que elas são desconhecidas do leitor, torna-se necessário fazer uma pequena explicação das mesmas.
Placas I
Baseado nas três direções perpendiculares e iguais do sistema cúbico.
 (Aplicável, somente ao sistema cúbico)
            Com uma placa de acrílico, representando uma face do cubo, com traços em determinada inclinação. A repetição desses traços, alterando a posição inicial com giro de noventa graus e alterando a orientação de inclinação para a direita ou para a esquerda, diferenciar as quatro formas correlatas da classe tetartoédrica (pedial) do sistema cúbico mantendo a simetria da classe.
            Com a superposição dessas placas, a simetria vai crescendo. Possibilitando a formação das duas formas correlatas de cada uma das classes hemiédricas (esfenoidal, domática e pinacoidal).
            A superposição das duas placas de cada classe hemiédrica aumentará a simetria, alcançando a classe holoédrica (prismática), sem formas correlatas. 
            No final, um cubo completo de cada uma das onze formas permitirá a constatação da simetria completa de todas elas. Para cada classe, uma placa base, com todos os elementos de simetria da classe, facilitará essa constatação em cada placa e no cubo completo.
            Para facilitar a disposição e o manejo das placas foi criado um tabuleiro com campo de cor diferente para as placas de cada classe de simetria, sendo:
  • Azul pare a classe pedial, sem elemento de simetria lateral (tetartoédrica).
  • Amarelo para a classe pinacoidal, somente com centro de simetria.
  • Marfim para a classe domática, somente com o plano lateral.
  • Vermelho para a classe esfenoidal, somente com o eixo lateral.
  • E, finalmente, um campo verde para a única placa da classe prismática, com todos os elementos de simetria laterais.
            As placas medem doze centímetros de comprimento e dez de largura. A placa, propriamente dita é um quadrado de dez centímetros de lado. Os dois centímetros, restantes, servirão de porta-etiqueta para incluir informações.
             Formação das placas I
            Tendo presente a simetria da classe pedial e o interrelacionamento das formas correlatas, foi fácil a elaboração das placas correspondentes.
            A formação das placas I começa com um quadrado de acrílico (uma face do cubo) no qual se faz um traço do ângulo superior esquerdo ao meio do lado direito.
            Uma segunda placa com o mesmo traço, mas, com um giro de 180 graus será a segunda placa inicial.
            A superposição das duas placas introduz o eixo binário perpendicular. Já é uma das formas correlatas da classe pedial, digamos a número um (1).
            Um giro de 90 graus da placa um (1) será a placa dois (2) (segunda forma correlata).
            Na coluna da direita, o traço será feito do ângulo superior direito para o meio do lado esquerdo. Com um giro de 180 graus teremos a segunda placa inicial.
            A superposição das duas dará origem à terceira forma correlata (placa 3).
            O giro de 90 graus da última formará a quarta forma correlata (placa 4).
            O eixo binário introduzido pelo giro de 180 graus das placas iniciais é o eixo principal do sistema cúbico que é perpendicular às placas (faces do cubo). Na realidade ele é eixo quaternário de inversão, mas, funciona como binário. (Não confundir com o eixo lateral binário que faz parte da forma geradora prisma).
            As placas iniciais da direita e as placas (3) e (4) são a imagem especular das placas iniciais e placas (1) e (2) da coluna da esquerda. O mesmo acontece com as placas (7) e (8) da classe esfenoidal (uma é imagem especular da outra).
            O funcionamento das quatro formas correlatas, na disposição da formação das mesmas, é a seguinte:
·                    Na vertical (mesma coluna), (1 e 2) e (3 e 4) apenas muda a posição (giro de 90 graus de uma em relação a outra). Quando superpostas, introduzirão o eixo quaternário.
·                    Na horizontal (mesma linha), (1 e 3) e (2 e 4) muda apenas a direção da inclinação (uma é a imagem especular da outra). Quando superpostas, introduzirão o centro de simetria que formará o plano principal pelo confronto de inclinações opostas de mesma posição (mesma posição e inclinação diferente).
·                    Na diagonal, (1 e 4) e (2 e 3) trocam a posição e a inclinação. (Outra linha e outra coluna, espelho na diagonal). Superpostas, introduzirão o plano lateral que é o resultado do confronto de inclinações diferentes giradas entre si de 90 graus (posição diferente e inclinação oposta).  
            A simplicidade da formação das placas I facilita o reconhecimento da simetria nas placas das diferentes classes (formando grandes figuras de corrosão).

Placas II
Baseado no eixo principal unitário e nas formas geradoras.
(Aplicável a todos os sistemas menos ao cúbico)
          Com ênfase no único eixo principal, as placas II permitem a formação de todas as classes de simetria de cada sistema.
Ao eixo principal acrescenta-se uma placa da forma geradora da classe que deve ser formada. A placa da forma geradora será repetida n vezes, girando, cada vez de um ângulo de 360 graus divididos por n sendo n a ordem do eixo principal. Na placa da forma geradora constam: O(s) elemento(s) de simetria da forma geradora e o polo da face inicial, já multiplicado pelo(s) elementos de simetria presente(s).
A soma das n placas formará uma nova placa (n + 1) na qual podem ser detectados os elementos de simetria ocultos, caso existam. Os elementos laterais derivados, por exemplo. Os novos elementos de simetria, originados pela interação dos elementos de simetria, acionados, aparecerão na placa seguinte (n + 2).
Depois da classe completa, aparecerá uma placa, com todos os elementos de simetria, sem os polos das faces (n + 3). Uma última placa com a projeção das sete formas, possibilitando o estudo das mesmas. 
Com placas II é possível mostrar que: tendo dois dos três elementos de simetria (plano, eixo e centro) o terceiro também, está presente. Na primeira versão as placas um, 1a e 1b, evidenciam bem essa afirmação. Na segunda versão, basta comparar as placas do esfenoide, do doma e do pinacoide. Sobrepondo as placas de duas formas geradoras e multiplicando o polo, já multiplicado pelo elemento de simetria de uma placa pelo elemento de simetria da segunda e obteremos o polo correspondente à multiplicação do mesmo polo inicial multiplicado pelo elemento de simetria da terceira forma geradora.
Placas III
Baseado na projeção das formas correlatas
(Aplicável a todos os sistemas)
          As placas III trabalham na base da projeção da forma geral das formas correlatas.
            Para a elaboração das placas III foi preciso começar com a projeção das formas gerais das quatro formas correlatas das classes pediais (tetartoédricas) de todos os sistemas.
            Independente da posição uma placa, qualquer da classe pedial, somada com outra originará a projeção da forma geral de uma forma correlata de uma hemiedria. As duas placas restantes (dupla paralela) levarão à outra forma correlata da mesma classe hemiédrica.
             Com a segunda placa leva a uma segunda classe hemiédrica e a dupla restante completará a classe.
            Com a terceira placa levará à terceira classe hemiédrica e a dupla restante completará a classe.
            A disposição das formas correlatas para as placas I e III é tal que:
As duplas verticais gerem (originam) os eixos laterais.
As duplas horizontais geram (originam) os centros de simetria.
As duplas diagonais gerem (originam) os planos laterais

Observação final (Placa III)
            A constatação da existência de forma correlata da classe holoédrica do sistema trigonal (escalenoedro ditrigonal direito e escalenoedro ditrigonal esquerdo) levou a procurar uma segunda série de formas correlatas tetartoédricas que levasse ao escalenoedro negativo.
Com a conveniente numeração das duas séries de placas, foi possível constatar que a soma das placas de igual número das duas séries do sistema trigonal leva à placa correspondente (mesmo número) do sistema hexagonal. Mostrando a afinidade existente entre os dois sistemas.
            Assim o sistema trigonal ficou com o dobro de placas, possibilitando estudar o sistema hexagonal com oito ogdoedrias (as oito tetartoedrias do sistema trigonal) passando a ser oito ogdoedrias do sistema hexagonal. 



[1] Cada placa corresponde a uma forma correlata.
[2] É a disposição usada na formação das Placas I e Placas III
[3] O primeiro parêntesis é a dupla afim e o segundo é a dupla paralela
[4] Disposição usada nos prismas.

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