A simetria sendo a igualdade, a semelhança, a harmonia, o equilíbrio e, ou a correspondência entre as diferentes partes de um conjunto.
E dela dependendo:
· Os sistemas cristalinos.
· As classes de simetria.
· A forma dos cristais.
· A estrutura cristalina.
Praticamente, tudo, em cristalografia, depende da simetria.
Podemos concluir que:
A simetria é, sem dúvida, o capítulo mais importante da cristalografia.
1. Operações de simetria
Tomando um motivo qualquer de preferência tridimensional e submetendo-o a um elemento operador de simetria, esse motivo será repetido no espaço, de acordo com a natureza do elemento de simetria acionado. A essa operação chamaremos de operação de simetria. As principais operações de simetria são:
· Deslizamento: é o deslocamento em que todos os pontos do motivo dado se deslocam segundo vetores paralelos e iguais. O elemento operador é o próprio vetor, indicando o módulo e o sentido da operação.
· Rotação: é a operação em que todos os pontos do motivo dado se deslocam, segundo arcos paralelos e iguais, em torno do eixo que é o elemento operador.
· Reflexão: é a operação em que todos os pontos do motivo dado se reproduzem a igual distância do outro lado do plano, como se houvesse reflexão num espelho. O elemento operador é o plano.
· Inversão: é a operação em que todos os elementos do motivo dado, se reproduzem através de um ponto. De cada ponto do motivo dado se baixa uma reta na direção do ponto, essa reta será prolongada a igual distância, do outro lado do mesmo (como se houvesse reflexão no ponto). O elemento de simetria é o próprio ponto chamado centro de simetria ou, centro de inversão.
O deslizamento e a rotação ou giro não alteram o motivo dado, por isso são chamadas operações de primeira espécie.
A reflexão e a inversão alteram o motivo dado, por isso chamadas operações de segunda espécie. Por exemplo: a mão direita refletida num plano produz a mão esquerda, não superponível à direita, porém simétrica.
O deslizamento é uma operação que, continuada, não retorna à posição inicial. Por isso não interessa à cristalografia morfológica.
As operações podem agir de forma isolada ou combinadamente.
Operações combinadas são:
· Giro e deslizamento: combina giro, em torno de um eixo e deslizamento segundo vetores paralelos ao mesmo, sem interesse para cristalografia morfológica. O elemento operador é o eixo helicoidal.
· Giro e reflexão: combina giro em torno de um eixo e reflexão num plano perpendicular ao mesmo. Elemento operador é o eixo giroide.
· Giro e inversão: combina giro em torno de um eixo e inversão num ponto situado no mesmo. Elemento operador é o eixo de inversão.
A ordem do eixo depende do número de vezes que o eixo repete o motivo dado, num giro de 360 graus que pode ser:
· Eixo unitário (E 1) que retorna ao motivo dado aos 360 graus, sem reprodução do mesmo, por isso, não é eixo de simetria. É o caso do eixo básico do sistema monoclínico.
· Eixo binário (E2) que repete o motivo dado de 180 em 180 graus.
· Eixo ternário (E3) repete de 120 em 120 graus.
· Eixo quaternário (E4) com repetição de 90 em 90 graus.
· Eixo senário (E6) repetindo de 60 em 60 graus.
· O giro de 72 graus, aparente em certas substâncias sintéticas, ainda merece mais estudos.
O giro completo de 360 graus dividido pelo número de graus girados em cada repetição dará a ordem do eixo.
· Na reflexão, de todos os pontos, do motivo dado, baixa-se perpendiculares ao plano que serão prolongadas a igual distância do outro lado para formar os respectivos pontos homólogos.
· Na inversão, de todos os pontos, do motivo dado, se baixam linhas na direção do ponto, que serão prolongadas até igual distância do outro lado, para formar os pontos homólogos.
Nas operações combinadas, é bom lembrar a posição relativa dos elementos de simetria e o novo nome do elemento operador.
· Giro e deslizamento: o vetor será paralelo ao eixo de giro e o elemento correspondente será o eixo helicoidal. (Sem interesse para a cristalografia morfológica por não retornar à origem.
· Reflexão e deslizamento. O vetor será paralelo ao plano refletor e o elemento é o Plano de deslizamento (sem interesse por não retornar ao início).
· Giro e reflexão: o plano será perpendicular ao eixo e o novo elemento chamar-se-á eixo giroide. (Tende a ser abandonado.)
· Giro e inversão: o centro de inversão está situado no meio do eixo, Chama-se eixo de inversão. Os eixos de inversão são simbolizados pelo sinal negativo (-) sobre o algarismo que representa a ordem do eixo: `4 = eixo quaternário de inversão. O eixo giroide acrescenta a letra g (giroide) ao mesmo algarismo.
O resultado final do uso dos eixos giroides ou de inversão é o mesmo, porém, com algumas observações:
- O eixo de inversão gira num sentido e o resultado aparece no sentido oposto.
- No eixo giroide o giro e o resultado seguem o mesmo sentido.
- O resultado do eixo senário de inversão é igual ao resultado do eixo ternário giroide e o resultado do eixo ternário de inversão é igual ao resultado do eixo senário giroide. O mesmo se constata na comparação dos eixos giroides e de inversão binários e unitários.
Na prática pode-se substituir:
· O centro de simetria por um eixo unitário de inversão C (centro) =`1. O motivo dado, uma face, por exemplo, gira 360 graus retornando ao ponto de partida e inverte. Ou por u eixo binário giroide gira 180 graus e reflete na vertical
· O plano horizontal por um eixo unitário giroide ou por um eixo binário de inversão
2. Elementos de Simetria
Chamamos de Elementos de Simetria aos planos, eixos e centro que podemos imaginar no interior dos cristais e em função dos quais, as diferentes partes simétricas se correspondem.
Elementos operadores e Elementos de simetria
Quando tomamos o elemento de simetria e colocamos junto dele um motivo dado qualquer, para que o mesmo, de acordo com sua natureza, o multiplique (reproduza), estamos tratando de um elemento operador. Quando o elemento de simetria está situado entre elementos simétricos e na sua função apenas sobrepõe partes simétricas já existentes, será chamado de elemento de simetria. Assim podemos dizer que um elemento operador, depois de completar a sua função, passa a ser elemento de simetria do conjunto operado.
Os elementos de simetria são:
· Plano de Simetria. É um plano imaginário que divide um cristal em duas partes especularmente iguais. Dividindo um cristal, segundo um plano de simetria, em duas partes, cada uma das partes colocadas sobre um espelho, completará o cristal. Colocando a mão esquerda sobre a mesa e um espelho vertical ao lado dela, teremos como imagem no espelho, a mão direita e não a esquerda, existe um plano de simetria, entre as duas mãos apesar de a mão direita ser diferente da esquerda, ela é especularmente igual.
· Centro de Simetria. É o centro do cristal que dista, em todas as direções, de pontos homólogos “iguais”. De qualquer elemento (vértice, aresta ou face), baixando uma reta, na direção do centro e prolongando-a na mesma distância, do outro lado, se encontra outro elemento “igual”. Havendo centro de simetria, a qualquer face corresponde outra paralela e “igual” no lado oposto.
· Eixo de Simetria. É uma linha imaginária, em torno da qual, o cristal girando, se recobre n vezes num giro de 360 graus. Este n pode ter os valores de 1,2, 3, 4 e 6.
Normalmente, estes eixos são de giro simples mas é possível, acrescentar a reflexão num plano perpendicular ao eixo ou à inversão, num centro situado no meio do eixo. Nesses casos serão chamados de eixo giroide ou eixo de inversão, respectivamente.
Alguns autores preferem trabalhar com eixos giroides, isto é, trabalhar com giro mais reflexão; outros ficam com os eixos de inversão. A tendência é abandonar o giroide e ficar só com o eixo de inversão. É o critério usado no simbolismo de Hermann-Maugin. Nem sempre os eixos giróides e de inversão, de mesma ordem, têm o mesmo efeito:
O eixo giroide 1 é igual ao eixo de inversão 2 e vice-versa.
O eixo giróide de ordem 3 é igual ao eixo de inversão 6 e vice-versa.
O eixo de giro simples, naturalmente, é polar e suas extremidades são diferentes. Para se tornar bipolar, com extremidades iguais, é preciso que outro elemento (plano ou eixo par perpendicular ou centro) confirme essa igualdade. Do ponto de vista da Cristalografia Morfológica, a bipolaridade nada acrescenta ao valor do eixo, porém é importante no estudo das propriedades elétricas e magnéticas dos cristais.
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3. Origem dos elementos de simetria
É interessante observar que os elementos de simetria têm as mais variadas origens (se é que podemos falar em origem para elementos de simetria). Os eixos principais têm sua origem nos movimentos giratórios básicos de cada sistema (pluralidade de eixos ternários para o sistema cúbico, eixo quaternário para o sistema tetragonal, eixo senário para o sistema hexagonal, eixo ternário para o sistema trigonal, eixo binário para o sistema rômbico e eixo unitário para o sistema monoclínico). No Sistema Cúbico, os quatro eixos ternários são principais provenientes do movimento giratório, e, como tal originais e os três eixos quaternários de inversão, binário ou quaternário, já provém da interação dos quatro eixos ternários e, por isto, são derivados.
Os eixos laterais ou complementares têm sua origem nas formas geradoras. O eixo binário do esfenóide é multiplicado pelos eixos principais formando os eixos laterais originais, e, pela interação desses com o eixo principal par, surgem os eixos laterais derivados (a segunda série de eixos binários).
Os planos principais têm sua origem na interação do eixo principal par com o centro de simetria. Os eixos ímpares, ternários dos sistemas cúbico e trigonal e o unitário do sistema monoclínico, não formam plano principal, mas, com o centro de simetria, serão transformados em eixos de inversão. Os planos principais do sistema cúbico surgem da interação dos eixos principais derivados com o centro de simetria e os planos horizontais das classes senárias de inversão, derivam diretamente do próprio eixo senário de inversão. Os planos complementares, ou laterais, provêm do doma, forma geradora, que serão multiplicados pelo eixo principal formando os planos laterais originais. A interação desses com o eixo principal fará aparecer (originar) os planos laterais derivados (segunda série de planos laterais).
O centro de simetria tem sua origem no pinacoide, (lembrando que este existe também no prisma). Assim, podemos dizer que o centro de simetria existe em todas as classes pinacoidais e nas classes prismáticas e somente existe nessas classes.
Os eixos quaternários, os eixos senários de inversão, também podem gerar elementos derivados de simetria. Neste caso, o eixo quaternário de inversão, com eixos originais, gera planos derivados e o eixo senário de inversão, com planos originais, gera eixos derivados.
Os eixos de inversão podem ter três origens:
· Já vêm do movimento giratório sendo de inversão. É o caso dos eixos principais das classes de inversão dos sistemas tetragonal e hexagonal.
· São os eixos principais derivados gerados, pelos quatro eixos como eixos de inversão. É o que acontece com os eixos quaternários de inversão das classes pedial e domática do sistema cúbico.
· Todos os eixos ímpares, que, com um centro de simetria se tornam eixos de inversão. É o que acontece com as classes pinacoidais e prismáticas dos sistemas cúbico, trigonal e monoclínico.
4. Classificação dos elementos de simetria
Ao construir modelos de agrupamentos dos elementos de simetria das diferentes classes, com o objetivo de facilitar o ensino e a aprendizagem da cristalografia, percebeu-se a necessidade de um aprofundamento do conhecimento acerca da origem e da função de cada um desses elementos. Em razão dessa necessidade, propõe-se uma classificação dos elementos de simetria. Para isso, eles foram diferenciados na sua origem e na sua atuação na função de multiplicação, transformação ou geração de novos elementos. A classificação proposta é:
- Elementos principais, fundamentais ou básicos (substantivos) - têm sua origem nos movimentos giratórios básicos dos sistemas: unitário, binário, ternário, quaternário, senário e nos quatro eixos ternários do sistema cúbico, todos caracterizando os respectivos sistemas. Representam o que alguns autores chamam de “simetria de giro”.
- Elementos laterais ou complementares (adjetivos) - têm origem nas formas geradoras e caracterizam as classes. “Simetria de forma”, para alguns autores.
Os dois grupos podem ser subdivididos em:
- Elementos originais - procedentes diretamente das fontes (movimento giratório básico ou formas geradoras), multiplicados ou não por outros elementos.
- Elementos derivados – gerados pela interação de elementos justapostos.
Os elementos principais originais são os eixos característicos dos sistemas. Com exceção do sistema cúbico, serão sempre verticais e singulares.
Os eixos principais derivados, que só existem no sistema cúbico, são os três eixos originados pela interação dos quatro eixos ternários que são eixos quaternários de inversão, mas, com a introdução dos elementos laterais, podem ser modificados. Pela posição que ocupam, os eixos principais derivados são tomados como eixos cristalográficos.
Todos os planos principais são derivados. São gerados pela interação do centro de simetria com os eixos principais pares. Existem, também, planos horizontais gerados pelo eixo senário de inversão, nas duas classes de inversão do sistema hexagonal.
São chamados elementos laterais originais aqueles provenientes das formas geradoras, ou seja, o centro de simetria do pinacoide, o plano lateral do doma e o eixo binário lateral do esfenoide. A existência dos três elementos caracterizará a forma geradora chamada prisma. O pédion é outra forma geradora, mas, sem elemento de simetria. Os elementos laterais originais podem ou não ser multiplicados pelos elementos principais, dependendo da natureza dos últimos.
Os elementos laterais originais, multiplicados pelos principais pares, terão sempre um acabamento igual nos lados opostos (bipolares). Isso causará uma interação com o elemento principal, originando uma nova série de elementos em número igual aos da primeira série, que se intercalarão aos elementos laterais originais, são os elementos laterais derivados.
São chamados elementos laterais originais aqueles provenientes das formas geradoras, ou seja, o centro de simetria do pinacoide, o plano lateral do doma e o eixo binário lateral do esfenoide. A existência dos três elementos caracterizará a forma geradora chamada prisma. O pédion é outra forma geradora, mas, sem elemento de simetria. Os elementos laterais originais podem ou não ser multiplicados pelos elementos principais, dependendo da natureza dos últimos.
Os elementos laterais originais, multiplicados pelos principais pares, terão sempre um acabamento igual nos lados opostos (bipolares). Isso causará uma interação com o elemento principal, originando uma nova série de elementos em número igual aos da primeira série, que se intercalarão aos elementos laterais originais, são os elementos laterais derivados.
5. Justapondo elementos de simetria
A justaposição dos elementos de simetria não pode ser aleatória, mas deve atender a compatibilidade dos mesmos na posição desejada. Os dois poderão agir sempre um sobre o outro, multiplicando ou alterando um ao outro. E, interagindo, poderão fazer surgir outros elementos. Normalmente, o caminho inverso também é verdadeiro. Se um plano perpendicular a um eixo binário gera um centro de simetria, um centro de simetria com um plano ou com um eixo gera o terceiro elemento.
5.1 Combinando dois eixos ternários
Dois eixos ternários são compatíveis somente a um ângulo de 109 graus, 28 minutos e 16 segundos. Nessa posição, eles se multiplicarão, resultando num total de quatro eixos mantendo o mesmo ângulo. Interagindo, os quatro originarão três eixos quaternários de inversão, localizados nas bissetrizes obtusas dos eixos ternários. Sobre esse resultado, os elementos laterais poderão agir de vários modos:
5.1.1 se for acrescentado ao conjunto acima, um centro de simetria, os eixos quaternários de inversão serão transformados em eixos binários com plano perpendicular;
5.1.2 se for acrescentado um eixo binário, ele será multiplicado por seis e se colocará nas bissetrizes agudas dos eixos ternários, posição em que, ao mesmo tempo, serão perpendiculares aos dois outros eixos ternários, transformando-os em eixos bipolares.
Os eixos binários transformarão os eixos quaternários de inversão em eixos quaternários (pela posição que ocupam, os eixos binários cruzam as faces do cubo, tornando o eixo perpendicular às mesmas, em eixo quaternário (ver cubos das placas I).
5.1.3 se for acrescentado um plano de simetria, ele será multiplicado por seis e, passando pelos eixos ternários, sem causar alterações.
5.2 Combinando eixos e planos de mesmo nível
Serão sempre perpendiculares.
5.3 Combinando elementos laterais com o eixo principal
Terão a seguinte posição:
5.3.1 O eixo lateral será perpendicular
5.3.2 O plano passará pelo eixo principal
5.3.3 O centro se localizará no meio do eixo.
Os efeitos serão:
Os efeitos serão:
- Se o eixo for par, criará um plano perpendicular ao mesmo.
- Se for ímpar, será transformado em eixo de inversão.
5.4 Acrescentando um elemento lateral a um eixo de ordem n
O resultado será variável:
5.4.1 O elemento lateral sendo um eixo, o eixo principal de ordem n fará surgir n - 1 novos eixos binários, distribuídos num ângulo de 360 graus divididos por n:
· Se o eixo for par, ele multiplicará o eixo lateral por n/2 e, na sequência, os transformará em eixos bipolares. Interagindo com os eixos bipolares, fará surgir outra série de n/2 eixos bipolares (derivados), intercalados aos originais.
· Se o eixo for ímpar, a multiplicação por n será direta e os eixos laterais permanecerão polares.
5.4.2 o elemento lateral sendo um plano, o resultado será semelhante; o eixo sendo par multiplicando por n/2 e, num segundo movimento, por interação, fazendo surgir os planos derivados, intercalados aos originais. O eixo ímpar multiplicará diretamente por n.
5.4.3 o elemento lateral sendo um centro de simetria, não haverá multiplicação, mas o efeito do centro se fará sentir, pois ele atuará de acordo com sua natureza. Se o eixo principal for par, o centro fará surgir um plano perpendicular ao mesmo; se o eixo for ímpar, será transformado em eixo de inversão de mesma ordem.
5.5 Combinando elementos laterais teremos:
· Eixo binário mais plano perpendicular gera centro e eixo binário mais centro gera plano.
· Plano mais eixo binário perpendicular gera centro e plano mais centro gera eixo binário.
· Centro mais eixo binário gera plano e centro mais plano gera eixo binário.
Como todos os eixos pares são binários, formarão um plano perpendicular com o centro, e formarão o centro com o plano perpendicular.
5.6 Cruzando n planos
A linha de intersecção de n planos será, sempre, um eixo de ordem n.
O eixo quaternário de inversão multiplicará o eixo lateral por dois e originará mais dois planos laterais derivados, intercalados aos eixos, não admitindo nem centro de simetria e nem plano lateral original.
Além de multiplicar o plano por três, fará surgir mais três eixos laterais derivados, passando pelos planos. É impossível acrescentar centro de simetria ou eixo lateral original.
Observações genéricas:
· Um eixo senário de inversão -6 ou eixo ternário giroide 3 g é equivalente a um eixo ternário com plano perpendicular.
· Os elementos derivados permanecerão na posição em que foram gerados.
* Os eixos principais derivados do sistema cúbico, alterados ou não, ficam na bissetriz obtusa dos eixos ternários.
* Os eixos e planos laterais derivados ficam intercalados aos respectivos elementos originais, mantendo essas posições, mesmo com a ausência dos elementos originais (hemiedrias de inversão).
6. Classes de Simetria e sua nomenclatura
Depois de termos estudado os elementos de simetria e a importância dos mesmos na cristalografia, podemos nos ocupar com as classes de simetria que nada mais são do que conjuntos de cristais que possuem os mesmos elementos de simetria.
Os elementos principais que, persistem em todas as classes do sistema, são exclusivos do mesmo, são os elementos do sistema.
Os elementos das formas geradoras responsáveis pela formação das classes, com eventuais alterações, constituem os elementos das classes[1].
A necessidade de dar nome às classes levou muitos autores, com critérios diferentes, mas, muito válidos, à solução da tarefa:
Groth usa a forma geral para dar nome à classe. Critério ótimo, porém, os nomes são muito compridos e de difícil memorização. Além disso, a mesma classe tem nome diferente nos outros sistemas.
Schönflies busca o nome na holoedria ou na meroedria das classes.
Roso de Luna se refere diretamente às formas geradoras e indiretamente, aos elementos de simetria das mesmas que são os elementos das classes.
Outros autores acenavam para a simetria da classe ou a um aspecto morfológico.
Considerando que:
· Todas as classes são formadas pelas mesmas formas geradoras.
· São as mesmas classes em todos os sistemas.
Por isso podem levar o nome derivado da forma que lhes deu origem. Diferenciando, apenas, o sistema a que pertencem.
Vantagens:
· Além de serem nomes mais simples.
· São fáceis de memorizar.
· O nome já lembra o elemento de simetria característico da classe.
· São os mesmos nomes em todos os sistemas
Assim, em todos os sistemas, até o monoclínico, inclusive, teremos:
· Uma classe pedial sem elementos laterais.
· Uma classe pinacoidal só com o centro de simetria.
· Uma classe domática só com o plano lateral.
· Uma classe esfenoidal só com o eixo lateral.
· Uma classe prismática com plano, eixo e centro.
É a denominação genética das classes.
Essas classes irão se repetindo em todos os sistemas, mudando apenas o movimento giratório próprio de cada sistema.
No sistema tetragonal temos ainda duas classes de inversão: A classe esfenoidal de inversão (hemiédrica) e a classe pedial de inversão (tetartoédrica). No sistema hexagonal temos a classe domática de inversão (hemiédrica) e a classe pedial de inversão (tetartoédrica).
7. Símbolos das Classes
Todas as classes de simetria pertencem a um determinado sistema, são caracterizadas pelos seus elementos de simetria. O elemento de simetria proveniente do movimento de giro será o eixo principal e caracterizará o sistema. Terá destaque em todos os símbolos. Os elementos complementares, vindos das formas geradoras, ou, provenientes da interação dos últimos com o eixo principal, originarão os demais elementos, próprios das classes.
Todo o símbolo de classe deve lembrar, facilmente, a partir dos elementos propostos, todos os elementos de simetria da classe a ser simbolizada. Baseado, apenas no conhecimento das resultantes da combinação dos elementos.
Os principais símbolos das classes são:
Os principais símbolos das classes são:
7.1 Símbolo Genético
Este símbolo usa as primeiras letras das cinco formas geradoras pe, pi, es, do e pr e as submete aos seis ritmos de giro que são: unitário 1, binário 2, ternário 3, quaternário 4, senário 6 e tesseral t (“multiternário”) que consta do conjunto de quatro eixos ternários (formando entre si um ângulo de 109 graus, 28 minutos e 16 segundos).
O sistema triclínico, não admitindo plano e nem eixo, fica fora dos ritmos com apenas duas classes pi e pe
Ritmo Unitário, isto é, giro de 360 graus, o que nada altera, ficando as classes resultantes reduzidas às próprias formas geradoras, originando as classes do sistema monoclínico 1-pe 1-pi 1-do 1-es 1-pr.
Ritmo Binário submete as formas geradoras a um eixo binário. Toma a forma geradora e a repete num giro de 180 graus e retorna aos 360 graus, originando as classes do sistema rômbico: 2-pe, 2-pi, 2-do, 2-es e 2-pr.
Ritmo Ternário submete as formas geradoras a um eixo ternário que repete de 120 em 120 graus, originando as cinco classes do sistema trigonal: 3-pe, 3-pi, 3-do 3- es, e 3-pr
Ritmo Senário, submetendo as formas geradoras ao ritmo senário, ou seja, a um giro de 60 graus, cada vez, teremos as classes: 6-pe, 6-pi 6-do, 6-es e 6-pr. Mais as duas classes do eixo senário de inversão `6-pe e`6-do.
Ritmo Quaternário, neste ritmo, as formas geradoras se repetem de 90 em 90 graus formando as classes: 4-pe, 4-pi, 4-do, 4-es e 4-pr. Mais duas classes em que o eixo 4 é de inversão, `4 - pe e`4 - es
Ritmo Tesseral (t)
Este ritmo consiste não no giro em torno de um eixo, mas sim, no giro em função de quatro eixos ternários agrupados em torno de um ponto. Na prática, estão na posição das diagonais de um cubo (vértice a vértice) e o centro do cubo é o ponto comum do conjunto dos eixos ternários. As classes são as seguintes: t-pe, t-pi, t-do t-es e t-pr.
7.2 Símbolo de Schönflies (1891)
O símbolo de Schönflies baseia-se nos eixos principais, aos quais se acrescenta, conforme o caso, a letra h indicando a existência de um plano horizontal, ou a letra d, um plano diagonal ou a letra v, um plano vertical.
Os eixos principais, não acompanhados de eixos binários, são representados pela letra C (cíclico) seguido de um algarismo indicando a ordem do eixo. Exemplo: C6v é um eixo senário acompanhado de planos verticais. Os eixos principais acompanhados de eixos binários perpendiculares são representados pela letra D, seguido de um algarismo indicando a ordem do mesmo. D6h representa um eixo senário com seis eixos binários perpendiculares mais um plano horizontal. Os seis planos verticais não necessitam ser representados, pois já decorrem dos elementos citados. (Ver Justapondo elementos de simetria eixos passando pelo plano horizontal). Com as devidas adaptações, o S corresponde aos eixos de inversão, no sistema hexagonal pode vir acompanhado de planos diagonais (d). (São os planos laterais originais que deram origem a essa classe. O cruzamento com o plano horizontal gera os eixos laterais derivados.)
No sistema cúbico, as classes com todos os eixos de simetria, são representadas pela letra O (O e Oh). As classes, com número reduzido de eixos, serão representadas pela letra T (Th, Td e T). Pode-e ainda dizer que com os eixos verticais, quaternários, usa-se a letra O; com os eixos verticais binários ou quaternários de inversão, usa-se a letra será T.
7.3 Símbolo de Hermann – Mauguin
C. Hermann (Stuttgart 1928) e Ch. Mauguin (Paris 1931).
Este simbolismo é devido a dois professores do início do Século XX, donde vem o nome. Toma por base a simetria da direção vertical, um algarismo indicando a ordem de giro do eixo principal 1, 2, 3, 4 e 6. Os planos são representados pela letra m (mirror ou miroir: espelho).
Os elementos complementares de simetria virão em seguida, primeiro os primitivos depois os derivados. A quantidade dos elementos fica por conta da interação recíproca dos elementos. Sempre que um elemento já está implícito, nos outros, pode ser dispensado. Os eixos de inversão serão indicados por um algarismo indicando a ordem de giro e acompanhados do sinal negativo. Exemplo: -3 eixo ternário de inversão. Na classe mais rica em simetria 4/m -3 2/m o símbolo pode ser reduzido a m3m (duas séries de planos e eixos ternários não perpendiculares aos mesmos.)
No sistema cúbico o “3” dos eixos ternários que são a base do sistema, sempre virá em segundo lugar mesmo sendo os eixos principais, mas, não são verticais.
O centro de simetria da classe pinacoidal será representado por -1
A ausência de simetria é indicada por 1.
8. Formação das classes
Tradicionalmente os cristais eram estudados a partir dos exemplares. Esse modo de estudo podia conduzir à conclusão precipitada de que alguns cristais pertençam a uma determinada classe, quando na realidade existem classes semelhantes, em sistemas mais condizentes, para encaixá-los. O estudo das classes a partir da gênese mostra a possibilidade da existência de classes semelhantes em sistemas mais apropriados. Com isso, muitos cristais taxados de “pseudos” podem ser encaixados no seu sistema verdadeiro. Exemplificando, a classe prismática e a esfenoidal existem tanto no sistema rômbico como no monoclínico, e as classes pinacoidal e a pedial existem também no sistema monoclínico e como, únicas classes, no sistema triclínico. O que vale dizer que o pinacoide e o pédion conseguem formar classes em todos os sistemas. 8.1 Elementos básicos dos sistemas e formas geradoras
Para estudar a formação das classes de simetria a partir da sua gênese, tomamos os elementos principais, característicos de cada sistema, e acrescentamos as formas geradoras com os elementos característicos das classes.
Os elementos característicos dos sistemas são:
· Sistema cúbico: Quatro eixos ternários que, interagindo, geram mais três eixos quaternários de inversão.
· Sistema hexagonal: Um eixo senário.
· Sistema tetragonal: Um eixo quaternário.
· Sistema trigonal: Um eixo ternário.
· Sistema rômbico: Um eixo binário.
· Sistema monoclínico: Um eixo unitário.
Cada forma geradora contribuindo com o respectivo elemento:
· O pédion contribui somente com uma face, sem simetria, ficando a classe pedial somente com os elementos característicos do sistema.
· O pinacoide acrescenta o centro de simetria.
· O doma acrescenta o plano lateral.
· O esfenoide acrescenta o eixo binário.
· O prisma acrescenta os três elementos (eixo, plano e centro), formando a classe holossimétrica, que por possuir todos os elementos de simetria, será a classe holoédrica.
Sempre será necessário levar em conta não somente a soma dos elementos vindos do sistema com os elementos vindos das formas geradoras, mas, também, as consequências da justaposição desses elementos que podem consistir em:
· Alteração de elementos.
· Multiplicação de elementos.
· Geração de elementos novos.
8.2 Alterações possíveis:
a) Nos sistemas dimétricos e trimétricos:
· O centro de simetria transforma o eixo principal em eixo bipolar. O eixo principal sendo par fará surgir um plano perpendicular que não constam nem no sistema e nem na forma geradora. E, sendo ímpar, será transformado em eixos de inversão.
· O eixo lateral transformará o eixo principal em eixo bipolar e será multiplicado pelo mesmo. O eixo principal sendo par, a multiplicação será por n/2 e, na sequência, os n/2 eixo se tornarão bipolares. No final, surgirão mais n/2 eixos bipolares derivados, intercalados aos eixos primitivos. O eixo principal sendo ímpar, a multiplicação será direta e os eixos resultantes continuam polares.
· O plano lateral passando pelo eixo principal, não o alterará, mas, será por ele multiplicado à semelhança dos eixos.
· Nas classes prismáticas, os três elementos agirão como nas respectivas classes.
b)No sistema cúbico:
· O eixo lateral transformará o eixo quaternário de inversão em eixo quaternário.
· O centro o transformará o eixo quaternário de inversão em eixo binário com plano perpendicular.
8.3 Descrição do quadro demonstrativo da formação das classes de simetria
8.3 Descrição do quadro demonstrativo da formação das classes de simetria
O quadro (8.5), composto de sete colunas, apresenta acima da linha horizontal destacada, à esquerda, os sistemas cristalinos; à direita, as formas geradoras com os respectivos elementos de simetria responsáveis pelos elementos laterais de simetria e, por isso, geradoras das classes. Abaixo da linha horizontal destacada, à esquerda, encontram-se os sistemas com os respectivos elementos de simetria básicos; à direita, estão os resultados da justaposição dos elementos de simetria dos sistemas cristalinos da esquerda, e dos elementos de simetria das formas geradoras do alto.
8.4 Funcionamento do quadro
Todo trabalho com o quadro será realizado na parte maior, à direita e abaixo das linhas destacadas. Por isso é interessante que uma cópia do quadro esteja sempre ao alcance dos olhos. Para o início do trabalho, façamos de conta que essa parte esteja em branco. E cabe a nós, a tarefa de preenchê-la.
As classes a serem formadas pertencerão a um dos sistemas (procurar a linha correspondente) A seguir procura-se a coluna da classe. Para o encontro da linha com a coluna, transportam-se a simetria do sistema (esquerda) e a simetria da forma geradora (acima). O resultado da justaposição desses dois conjuntos de elementos de simetria será a simetria da classe procurada.
Na coluna do pédion, como não existe elemento da classe (forma geradora pédion). A simetria se limita à simples transcrição da simetria do sistema (da esquerda).
Na linha do sistema monoclínico não há simetria do sistema e a simetria total será a simples transcrição da simetria da forma geradora (do alto). Viso que o eixo unitário E1 não multiplica a forma geradora.
Para as demais classes será necessário justapor os dois conjuntos de elementos de simetria e procurar as implicâncias da justaposição (Ver acima 8.2 ou Justapondo elementos de simetria).
Sistemas cristalinos | Formas Geradoras e respectivos elementos de simetria | |||||
Nomes | Simetria Básica | Pédion --------- | Pinacóide C | Doma P’ | Esfenóide E’2 | Prisma E’2 P’ C |
Cúbico | 4E3 3E4i | 4E3 3E4i | 4E3i 3E2 3P C | 4E3 3E4i 6P’ | 4E3 3E4 6E’2 | 4E3i 3E4 6E’2 3P 6P’ C |
Tetragonal | E4 | E4 | E4 P C | E4 2P’ 2P” | E4 2E’2 E”2 | E4 2E’2 2E”2 P 2P’ 2P” C |
Tetragonal de inversão | E4i | E4i | ------- | ------ | E4i 2E’2 2 P” | ------- |
Hexagonal | E6 | E6 | E6 P C | E6 3P’ 3P” | E6 3E’2 3E”2 | E6 3E’2 3E”2 P 3P’ 3P” C |
Hexagonal de inversão | E6i P | E6i P | ------ | E6i P 3P’ 3E” | ------ | -------- |
Trigonal | E3 | E3 | E3i C | E3 3P’ | E3 3E’2 | E3i 3E’2 3 P’ C |
Rômbico | E2 | E2 | E2 P C | E2 P’ P” | E2 E’2 E”2 | E2 E’2 E”2 P P’ P” C |
Monoclínico | E1 | E1 | E1i C | E1 P’ | E1 E’2 | E1i E’2 P’ C |
Triclínico | ------ | 1 | C | --------- | --------- | ------------ |
Além das cinco classes que cada sistema forma com cada uma das cinco formas geradoras, existem mais quatro classes formadas com eixos de inversão: as classes pedial e esfenoidal do sistema tetragonal e as classes pedial e domática do sistema hexagonal. Outras tentativas para formar classes de inversão, retornam a uma das classes anteriores.
9. Holoedria e Meroedria
Quando uma classe de simetria apresenta, na forma geral, o maior número de faces possíveis no sistema, dizemos que se trata de uma classe holoédrica. As classes que apresentam, na forma geral, um número reduzido de faces, serão chamadas de meroédricas. As meroedrias se dividem em:
- Hemiedria quando o número de faces da forma geral for reduzido à metade.
- Tetartoedria quando o número de faces for reduzido à quarta parte.
- Ogdoedria quando as faces forem reduzidas, em número, para a oitava parte.
Na prática a ogdoedria só pode existir se considerarmos o sistema trigonal pertencente ao hexagonal tendo vinte e quatro faces na holoedria (bipirâmide diexagonal) para três faces (pirâmide trigonal).
As hemiedrias podem ser divididas em:
· A hemimórfica se caracteriza pelo desaparecimento dos elementos de simetria horizontais, ficando a forma reduzida à metade superior ou à metade inferior (com eixo principal polar). Geneticamente corresponde à classe originada pelo doma. As duas formas correlatas são superponíveis.
· A paramórfica se caracteriza pela perda dos elementos laterais, planos verticais e dos eixos horizontais conservando o centro de simetria. Geneticamente formados pelo pinacóide. As duas formas correlatas são superponíveis.
· A enantiomórfica sem plano e nem centro e fica com todos os eixos. As duas formas correlatas não são superponíveis por deslocamento, mas somente por operação de segunda espécie. Geneticamente correspondem à classe formada pelo esfenóide.
Não é possível dois cristais de classes diferentes, cristalizarem juntos. Contudo, é possível a coexistência de formas correlatas distintas, cristalizarem juntas, podendo, mesmo, simular formas das classes mais ricas em simetria. Como exemplo, podemos encontrar um quartzo direito crescido junto de um esquerdo formando a macla do Brasil aparentando simetria superior à do quartzo.
As tetartoedrias já são menos numerosas. Surgem do empobrecimento dos elementos de simetria, laterais plano, eixo e centro. Geneticamente correspondem à classe formada pelo pédion.
As tetartoedrias já são menos numerosas. Surgem do empobrecimento dos elementos de simetria, laterais plano, eixo e centro. Geneticamente correspondem à classe formada pelo pédion.
As formas particulares das classes meroédricas podem conservar a forma da classe mais rica em simetria, mas, quando mudam, reduzem o número de faces na mesma proporção da forma geral. Não falamos em ogdoedria porque consideramos o sistema trigonal independente do hexagonal.
Existem, ainda, as hemiedrias e as tetartoedrias de inversão. Ocorrem quando o eixo principal é transformado em eixo de inversão. Existem apenas duas classes hemiédricas de inversão. A classe esfenoidal do sistema tetragonal. Classe tetragonal escalenoédrica e a classe domática do sistema hexagonal. Classe ditrigonal bipiramidal. O centro de simetria inviabiliza qualquer inversão. O eixo lateral inviabiliza a inversão do eixo senário. O plano inviabiliza a inversão do eixo quaternário.
Sobrando, apenas, uma classe hemiédrica de inversão no sistema tetragonal e uma no sistema hexagonal. As tetartoedrias de inversão existem nos dois sistemas.
10. Região de simetria, polos determinantes e domínio de simetria
Representando todos os elementos de simetria (às vezes, bastam os planos) numa esfera, esses elementos dividem o espaço em várias regiões. O que ocorre numa delas, se repete em todas as outras, por força dos elementos de simetria. A estas limitações, chamamos de Regiões de simetria. Tomando, como exemplo, a classe bipiramidal rômbica, 2/mm. Numa projeção esférica, os três planos dividem a esfera em oito partes iguais (oito regiões de simetria). As oito partes podem ser derivadas de uma delas por operações de simetria. O que acontece em uma delas acontece em todas. No nosso exemplo, a região de simetria é limitada por um plano horizontal e dois planos verticais, todos, perpendiculares entre si. O triângulo formado pelos três planos é uma região de simetria.
Em cada região de simetria temos:
· Três pontos de cruzamento dos elementos de simetria (no exemplo são os planos).
· Três lados do triângulo.
· O espaço livre no interior do triângulo.
· Nos três pontos fixos (presos a mais de um elemento não permitindo deslocamento) estão os polos determinantes das formas fixas da classe. Um polo de uma face colocada num desses pontos, quando multiplicada pelos elementos de simetria da classe dará origem à forma completa, por isso é chamado polo determinante da forma fixa. Uma forma em cada vértice do triângulo dará três formas fixas. Como o polo está situado sobre dois elementos, não será multiplicado por nenhum deles, resultando um número menor de faces, no fim da multiplicação.
· Os polos colocados sobre os lados podendo deslocar-se ao longo deles, porém, sem se afastar dos mesmos, serão os polos determinantes das formas semivariáveis. Cada lado do triângulo formará uma forma semivariável que, devido à posição, deixará de ser multiplicado por, apenas, um elemento, resultando, no final, um número maior de faces, nas formas semivariáveis.
· Finalmente, um polo colocado no interior do triângulo, será o polo determinante da forma geral da classe. Multiplicado por todos os elementos, alcansará no final o máximo de faces da classe (forma geral). Como o polo determinante da forma geral pode ocupar qualquer lugar no interior do triângulo, só pode existir uma forma geral
Os polos situados sobre elementos de simetria são perpendiculares aos mesmos e não serão multiplicados por eles.
Podemos dizer que o domínio de simetria de um polo qualquer vai até os elementos de simetria capazes de reproduzi-lo, para formar nova face. Quanto maior for o número de elementos de simetria sem atuação, maior será a área de abrangência do polo, isto é, o domínio de simetria. E menor será o número de faces da forma.
Domínio de simetria é o espaço que vai desde o polo determinante até os elementos de simetria capazes de multiplicá-lo.
Polo determinante é o polo de uma face colocado numa região de simetria que, de acordo com a posição que ali ocupa, pode gerar qualquer uma das sete formas possíveis de cada classe.
Região de simetria é o espaço limitado pelo conjunto de elementos de simetria de uma determinada classe de simetria
[1] Ver, Justapondo elementos de simetria
[2] Convencionamos que E e P indicam eixos e planos principais, E’ e P’ indicam eixos e planos laterais primitivos e E” e P” indicam eixos e planos laterais derivados e C indica um centro de simetria. A letra i indica um eixo de inversão e E1 ou 1 indicam eixo unitário, isto é, quando não existir elemento de simetria nessa posição.
Sua aula é simplesmente maravilhosa
ResponderExcluirSua aula é simplesmente maravilhosa
ResponderExcluirrealmente perfeita sua aula, me ajudou dimais. vlw
ResponderExcluirMuito obrigada, estou estudando pra uma prova e me ajudou muito. Curso geologia, e este assunto tem sido fantástico😍
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