5. Orientação da Cruz Axial

            Sempre o último eixo estará na vertical.

            Sistema Cúbico: por serem eixos iguais, quaisquer uns dos três eixos pode ser o primeiro e, como tal, ser orientado para o observador. O segundo eixo na horizontal é transversal

Sistema Tetragonal: o eixo diferente que é o principal estará na vertical. Um dos horizontais, iguais, será o primeiro, orientado para o observador e o segundo, transversal.

            Sistemas trigonal e hexagonal: o eixo diferente (principal) na posição vertical, qualquer um dos três eixos horizontais iguais poderá ser o segundo eixo, que será transversal ao observador, o primeiro passará à esquerda do observador, e o terceiro eixo, negativo, à direita do mesmo, formando um ângulo de 60 graus com o primeiro e o segundo eixo. Os lados positivos dos eixos horizontais formam, entre si, ângulos de 120 graus

            Sempre entre dois eixos positivos se encontra o outro eixo negativo. O que leva a uma constatação interessante: A soma dos índices de Miller referentes aos eixos horizontais será igual a zero. Caso corte apenas dois eixos, os índices serão iguais e de sinal contrário.

            Sistema Rômbico: qualquer um dos três eixos pode ser o primeiro, mas é aconselhável manter o maior como eixo principal, na vertical, o médio na transversal e o menor na direção do observador, como primeiro eixo. Nas classes com um único eixo ele será principal.

            Sistema Monoclínico: o primeiro eixo desce na direção do observador, o segundo eixo continua horizontal e transversal, o terceiro é vertical nunca será eixo de simetria.  O eixo binário, quando existe, coincide com o eixo b e o plano será perpendicular ao mesmo.

            Sistema Triclínico: o terceiro eixo permanece na vertical, o segundo descendo para a direita, permanecendo na transversal e o primeiro eixo descendo para o observador, com inclinação para a direita, dependendo do valor do ângulo g.

4. Eixos cristalográficos (Cruz Axial)

Entende-se por eixos cristalográficos, um conjunto de linhas coordenadas, às quais se referem todos os elementos de um cristal; indicando, com precisão, a posição dos mesmos em relação às linhas coordenadas, que formam a Cruz Axial.

Merecem destaque especial, como elementos do cristal:

·                     As faces são planos que limitam os cristais dando-lhes forma.

·                     As arestas são as linhas de encontro das faces.

·                     Os vértices são o ponto de encontro das arestas.   

            Normalmente se toma como coordenadas, as linhas X Y Z, cuja origem coincide com o centro do cristal.

Na linha do X, da origem, em direção do observador, marca-se o primeiro eixo a e da origem, em direção oposta, ficará o primeiro negativo –a.

Sobre o eixo Y fica o segundo eixo. Para a direita o b e para a esquerda –b.

Na linha do Z (vertical) o terceiro eixo. Para cima c e para baixo–c.

Quando os eixos são iguais (monométrico), serão representados pela mesma letra. Exemplo a, a e a (sistema cúbico).

Nos sistemas dimétricos, a, a, (a) e c. E, por fim, nos sistemas trimétricos, a, b e c. O conjunto dos eixos cristalográficos é chamado de cruz axial, e é característico para cada sistema:

• Sistema cúbico: três eixos iguais e perpendiculares a, a e a. Ângulos µ = ^b = g = 90 graus.
• Sistema tetragonal: dois eixos horizontais iguais e um vertical diferente: a, a e c. Ângulos µ = ^b = g =90 graus.

• Sistema hexagonal (e trigonal): três eixos horizontais iguais e um vertical diferente: a, a, a e c. Os horizontais formam, entre si, ângulos de 120 graus. O eixo vertical será eixo ternário de simetria no sistema trigonal e será senário ou senário de inversão no sistema hexagonal. Ângulos µ = ^b = 90 graus e g = 120 graus. O segundo eixo será transversal e o primeiro começa a 30 graus à esquerda do observador e o terceiro, negativo, ficará a 30 graus à direita do observador.
• Sistema rômbico: três eixos diferentes e perpendiculares entre si: a, b e c. Ângulos µ = ^b = g = 90 graus.
• Sistema monoclínico: três eixos diferentes. O eixo a está inclinado ao plano dos dois outros eixos, perpendiculares entre si: a, b e c. Ângulos  µ = g =90 graus ¹ ^b
• Sistema Triclínico: três eixos diferentes e diferentemente inclinados entre si: a, b e c. Ângulos µ ¹ ^b ¹ g ¹ 90 graus.
• Os ângulos são sempre os mesmos:

1.              O ângulo a formado pelos eixos b e c, (segundo e terceiro).

2.              O ângulo b é formado pelos eixos a e c (primeiro e terceiro)

3.              O ângulo g é formado pelos eixos a e b (primeiro e segundo).

3. Formas geradoras

            Chamamos de formas geradoras às cinco formas, simples, abertas, correspondentes às formas das classes do sistema monoclínico, não multiplicadas pelo eixo unitário. Nos demais sistemas, mediante um determinado movimento giratório dos eixos principais, essas cinco formas são capazes de gerar as diferentes classes de cada sistema.

             As formas geradoras são:

·         Pédion: consta de uma única face que, por falta de elemento de simetria, não se reproduz.

·          Pinacoide: consta de uma face e um centro de simetria que reproduz a face, originando um conjunto de duas faces paralelas e iguais, tendo entre si um centro de simetria.

·         Esfenoide: consta de uma face oblíqua a um eixo binário e por força desse eixo, origina outra face a 180 graus ao redor do eixo. Resultando num conjunto de duas faces oblíquas e iguais, tendo entre si, um eixo binário.

·          Doma: consta de uma face oblíqua a um plano, que por força do mesmo, se reproduz formando um conjunto de duas faces oblíquas e iguais, tendo entre si, um plano de simetria.

·         Prisma: consta do conjunto das três formas, esfenoide, doma e pinacóide mantendo o eixo binário perpendicular ao plano, originando assim, o centro de simetria. Duas das três formas acima, já implicam na existência da terceira, caraterizando a existência dos três elementos de simetria: plano eixo binário perpendicular e centro. Não é possível combinar somente duas das três formas acima. Conferir no triângulo abaixo em que os vértices são: Esfenoide (es), doma (do) e pinacoide (pi)

                      

                                     es

es + do  gera  pi

es + pi  gera  do                             +              +

do + pi  gera  es

                                            do             +               pi

A soma de dois vértices forma o terceiro vértice

(ver: Simetria, Justapondo elementos de).

Repetindo, podemos dizer que Pédion é a ausência de elemento de simetria; Pinacoide traz um centro de simetria; Esfenoide implica na existência de eixo binário e Doma inclui um plano de simetria. O Prisma, por sua vez, possui os três elementos eixo, plano e centro.

Poderíamos dizer que as formas geradoras são os próprios elementos de simetria aos quais se junta uma face originando, assim o pinacoide, o esfenoide e o doma. Reunindo os três elementos, formamos o prisma. Uma face sem elemento de simetria constitui o pédion. 

Os movimentos aos quais as formas geradoras são submetidas correspondem a:

1) Giro em torno de um eixo unitário. As cinco formas geradoras submetidas a um eixo unitário ficam somente com as formas geradoras com os respectivos elementos de simetria. Formando o sistema Monoclínico. Pois o eixo unitário dá a volta completa, voltando à posição inicial, sem nada alterar, por isto mesmo não é elemento de simetria.

    2) Giro em torno de um eixo binário. As formas geradoras se repetem a 180 graus. Formado o sistema Rômbico.

3) Giro em torno do eixo ternário. A repetição se dá de 120 em 120 graus. Três vezes na volta completa. Formando o sistema Trigonal.

4) Giro em torno de um eixo quaternário. Reproduzindo quatro vezes numa volta completa, de 90 em 90 graus. Formando o sistema Tetragonal.

5) Giro em torno de um eixo senário. Com seis repetições simétricas na volta completa, de 60 em 60 graus. Formando o sistema Hexagonal.

6) Giro “multiternário” As formas geradoras são repetidas por um conjunto de quatro eixos ternários. Estes eixos ternários interagindo produzirão mais três eixos quaternários de inversão. Os últimos eixos serão alterados pela introdução do:

·         Centro de simetria do pinacoide, transformando-se em eixo binário com plano perpendicular.

·          Eixo binário do esfenoide, transformando-se em eixo quaternário.

O fato de relembrar aqui as formas geradoras não é um saudosismo dos tempos em que as formas geradoras estavam “em alta”, mas sim, para chamar a atenção sobre a grande clareza que as formas geradoras projetam sobre as classes, por elas formadas. Assim, por exemplo, as classes prismáticas são as holoédricas com a totalidade dos elementos de simetria do sistema. Corresponde ao Dh de Schönflies. (Oh no sistema cúbico).

As classes esfenoidais não têm planos e nem centro, mas todos os eixos do sistema (holoáxicas) são as hemiedrias enantiomórficas. Correspondem ao D de Schönflies. (O no sistema cúbico)

As classes pinacoidais todas têm centro de simetria e formam as hemiedrias paramórficas. Com exceção dos sistemas trigonal e monoclínico, o centro com eixo de ordem par produz o plano horizontal. Correspondem ao Ch de Schönflies. (Th no sistema cúbico).

As classes domáticas formam as classes piramidais. Os planos são verticais. Não há elemento que possa gerar uma bipirâmide. Daí a forma de metade: hemiedrias hemimórficas. Correspondem ao C v de Schönflies. (T v no sistema cúbico).

As classes pediais ficam somente com a simetria do movimento giratório do sistema. Formam, assim, as classes tetartoédricas, fora do sistema cúbico, não passam da forma piramidal. Correspondem ao C de Schönflies. (T no sistema cúbico).

Com os eixos de inversão (4 e`6 ) o pédion forma as tetartoedrias de inversão.  As hemiedrias de inversão podem ser originadas pelo esfenoide, no sistema tetragonal e pelo doma, no sistema hexagonal pois o eixo do esfenoide anula a inversão do eixo senário e o plano de doma anula a inversão do eixo quaternário. O que leva à conclusão que a hemiedria do sistema tetragonal é esfenoidal e a do sistema hexagonal é domática. 

NB: Outros elementos de simetria podem gerar pinacoides, domas, esfenoides ou prismas, mas neste caso, não serão formas geradoras.

2. Cristal real e cristal ideal

            É difícil, na natureza, encontrar cristais perfeitos. Por falta de espaço, por deficiência da matéria formadora ou por qualquer outro motivo, o exterior do cristal pode ser mal formado. A estrutura interna, isto é, o arranjo das “partículas” que formam o cristal, é quase sempre perfeito. Um cristal, externamente, bem ou mal conformado, mas de estrutura perfeita, é chamado cristal real.

Como todos os cristais são formados por estruturas praticamente perfeitas, podemos aplicar-lhes o princípio que diz que as direções paralelas são iguais.

Podemos, assim, completar as faces mal conformadas e deslocá-las, paralelas a si mesmas, para formar um cristal perfeito e a este cristal chamaremos de cristal idealizado. Assim um cristal ideal pode ser natural ou idealizado.

1. ALTERAÇÃO DAS FORMAS DOS CRISTAIS

Antes de tudo, é preciso deixar bem claro que não existe alteração nos cristais, depois de formados. Poderíamos dizer que a natureza projetou uma forma e depois resolveu modificar o projeto antes da execução. Talvez seja até melhor dizer que cada classe de simetria já traz, na sua ”carga genética”, o projeto de sete formas, das quais, a menor é a chamada forma fundamental. As seis outras formas seriam formas variantes da primeira. Qualquer um dos outros projetos pode ser executado, produzindo uma das formas “derivadas”, sempre de acordo com a estrutura cristalina do material em jogo. Os seis outros polos, da região de simetria, originarão as outras seis formas da classe. Assim, em vez de truncar os vértices do cubo, colocamos a face desejada no polo correspondente e já surgirá o octaedro, ou qualquer outra forma. Sabendo que os planos reticulares mais densos determinam a posição das faces, o encontro desses planos determina as arestas e o encontro das arestas produz os vértices; podemos imaginar alteração em torno desses elementos, sem sair da estrutura do cristal.

É bom lembrar que cada estrutura permite sete formas distintas e que é comum aparecerem, ao mesmo tempo, faces de formas diferentes, originando, assim as formas combinadas. Tratando-se de formas abertas, é indispensável o concurso de duas ou mais formas para limitar o espaço. As formas fechadas podem existir combinadas ou não.

As alterações “imaginárias” mais comuns são:

·                    Truncamento: É a “substituição” de um vértice ou de uma aresta por uma face. Toda alteração deve atender, rigorosamente, aos elementos de simetria existentes.

·                     Biselamento: É a “substituição” de uma aresta por duas faces. Não é possível fazer biselamento sem a existência de eixo ou plano capaz de multiplicar a face colocada obliquamente ao mesmo.

·                     Pontilhamento simples: É a “substituição” de um vértice por três faces, podendo as mesmas se orientar sobre as faces ou sobre as arestas, em torno do vértice. Para haver pontilhamento é indispensável existirem um eixo ternário ou três planos capazes de multiplicar por três a face colocada sobre um dos planos ou, ao lado do eixo ternário.

·                     Pontilhamento duplo – É a “substituição” dos vértices por seis faces não orientadas sobre as faces e nem sobre as arestas, do cubo, mas em posição intermediária. Só é possível com a existência de três planos que multiplicarão uma face colocada entre eles.                           

Caso tivermos seis faces, três orientadas sobre as faces e três orientadas sobre as arestas, do cubo, teremos dois pontilhamentos simples combinados. Originados por duas faces distintas colocadas sobre dois planos vizinhos, uma correspondente à face e outra correspondente à aresta, e não, uma, colocada entre os planos.

No biselamento, basta colocar uma face ao longo da aresta, inclinada em relação ao elemento de simetria (plano ou eixo, ou os dois) que esse elemento fará surgir outra face, completando o biselamento. O mesmo podemos dizer do pontilhamento, tanto simples quanto duplo. Isso pode acontecer com um eixo ternário no vértice como com três planos de simetria (o pontilhamento duplo só ocorre com os três planos). Todas as formas de cada classe podem ser derivadas da forma fundamental com essas alterações. Assim, truncando as arestas do cubo, teremos o rombododecaedro. As arestas biseladas produzirão o Tetraexaedro. Truncando os vértices, resulta o octaedro. O pontilhamento simples com as novas faces orientadas sobre as faces do cubo produzirá o trapezoedro. Se a orientação for sobre as arestas, aparecerá o trioctaedro. O pontilhamento duplo onde a nova face é colocada fora dos elementos de simetria se reproduzirá em todos eles originando seis faces em torno de cada vértice, resultando o hexaoctaedro. (Oito vértices, cada um com seis faces.)

A alteração feita em um dos elementos do cristal (face, aresta ou vértice) se repete em todos os elementos simétricos, e, só nos elementos simétricos. Nas classes meroédricas nem todos os elementos são simétricos, como por exemplo, nas classes tetraédricas, um vértice do cubo é simétrico somente aos vértices da mesma diagonal, e só estes serão alterados. Se fizermos a alteração no outro vértice, todos os simétricos dele serão alterados, originando uma forma correlata.

Na medida em que aumentarmos a alteração, cresce a nova forma e diminui a primitiva ou fundamental até o desaparecimento da mesma.

Assim, truncando os vértices do cubo, teremos a combinação deste com o octaedro, com o crescimento do octaedro e a diminuição do cubo, podemos dizer que temos um octaedro com cubo, finalmente, desaparecendo a facetinha do cubo, ficaremos só com o octaedro.

As alterações dos cristais também dependem dos elementos de simetria. Só há biselamento quando existe plano de simetria ou, eixo binário, passando pela aresta. Pontilhamento exige eixo ternário ou três planos. Pontilhamento duplo exige os três planos que já incluem o eixo ternário. A simetria também comanda a escolha dos elementos do cristal que devem ser alterados. Uma alteração num vértice do hexaedro só se repete nos vértices simetricamente iguais. Nas classes do sistema cúbico, sem plano principal e sem eixo quaternário, a alteração feita num vértice, só se repete nos vértices alternados (situados na mesma diagonal). As alterações não são empíricas. Atendem à estrutura (planos reticulares densos). São completadas e repetidas pelos elementos de simetria.

            Usando a classe holoédrica do sistema cúbico, em que, todas as alterações são possíveis, faremos a correspondência dos sete polos determinantes da região de simetria com as alterações acima explicadas.

            Um cubo com os planos principais paralelos às arestas e os planos laterais nas diagonais, já delimita as regiões de simetria. Um vértice do triângulo é o encontro de quatro planos, dois principais e dois laterais (centro da face do cubo. O segundo vértice é o encontro de um plano principal com um plano lateral (meio da aresta do cubo). O terceiro vértice é o encontro de três planos laterais (vértice do cubo).

            Trabalhando com essa região de simetria podemos afirmar que:

·                O polo determinante da primeira forma fixa no cruzamento de quatro planos é o cubo ou hexaedro que é a forma fundamental do sistema.

·                O segundo polo fixo situado no cruzamento de um plano principal com um plano lateral, formará um rombododecaedro. Corresponde ao truncamento da aresta do cubo.

·                O terceiro polo fixo, no cruzamento de três planos laterais, corresponde ao truncamento de um vértice do cubo e forma o octaedro.

·                O polo determinante situado sobre um plano principal, entre um e dois, corresponde ao bizelamento da aresta do cubo e corresponde ao cubo piramidado.

·                O polo semivariável situado entre dois e três está situado sobre um plano lateral. Corresponde a um pontilhamento simples com a nova face orientada sobre a face do cubo. Corresponde ao trapezoedro.

·                O polo semivariável entre três e um está situado sobre outro plano lateral. Corresponde a um pontilhamento com a nova face orientada sobre a aresta. Formará o trioctaedro.

·                Finalmente, o polo livre, no interior do triângulo e, por isso multiplicado por todos os elementos, corresponde ao pontilhamento duplo. Dará origem ao hexacisoctaedro

          Posição dos planos no cubo:

·                             Planos principais sempre serão paralelos às faces do cubo.

·                             Planos laterais estão nas diagonais do cubo. Em cada vértice passam três planos indicando a posição dos eixos ternários. Os eixos quaternários estão nas linhas de intersecção de dois planos principais e dois laterais Os eixos binários estão no encontro de um plano principal com um lateral.

          O centro de simetria, também está incluído nos plano, pois existe eixo par com plano perpendicular. Assim, os vinte e três elementos de simetria estão incluídos com a os nove planos

FORMAS DOS CRISTAIS: INTRODUÇÃO

Em Cristalografia, consideramos como forma o conjunto de faces que ocupam posições idênticas em relação aos elementos de simetria (planos eixos e centro). Todas as faces da mesma forma podem ser consideradas como resultantes da multiplicação de uma delas colocada ao alcance dos elementos de simetria. No caso da classe pedial do sistema monoclínico, não existindo simetria nem de forma (forma geradora) e nem de giro (eixo principal), todas as formas terão apenas uma face, formando pédions.

Qualquer um dos polos determinantes de uma região de simetria, quando multiplicado pela totalidade dos elementos de simetria, completará a forma correspondente.
Publicarei, a partir de hoje e em sequência, diversos textos que tratam das formas dos cristais.